Pirámide triangular regular (pirámide regular con un triángulo en la base). tetraedro

Aquí puede encontrar información básica sobre pirámides y fórmulas y conceptos relacionados. Todos ellos se estudian con un tutor de matemáticas en preparación para el Examen Estatal Unificado.

Consideremos un plano, un polígono. , que se encuentra en él y un punto S, que no se encuentra en él. Conectemos S a todos los vértices del polígono. El poliedro resultante se llama pirámide. Los segmentos se llaman costillas laterales. El polígono se llama base y el punto S es la cima de la pirámide. Dependiendo del número n, la pirámide se llama triangular (n=3), cuadrangular (n=4), pentagonal (n=5), etc. Un nombre alternativo para una pirámide triangular es tetraedro. La altura de una pirámide es la perpendicular que desciende desde su cima al plano de la base.

Una pirámide se llama regular si un polígono regular, y la base de la altitud de la pirámide (la base de la perpendicular) es su centro.

comentario del tutor:
No confunda los conceptos de “pirámide regular” y “tetraedro regular”. En una pirámide regular, las aristas laterales no son necesariamente iguales a las aristas de la base, pero en un tetraedro regular, las 6 aristas son iguales. Esta es su definición. Es fácil demostrar que la igualdad implica que el centro P del polígono coincide con una base de altura, por lo que un tetraedro regular es una pirámide regular.

¿Qué es una apotema?
La apotema de una pirámide es la altura de su cara lateral. Si la pirámide es regular, entonces todas sus apotemas son iguales. Lo opuesto no es verdad.

Un tutor de matemáticas sobre su terminología: el 80% del trabajo con pirámides se construye a través de dos tipos de triángulos:
1) Que contiene apotema SK y altura SP
2) Que contiene el borde lateral SA y su proyección PA

Para simplificar las referencias a estos triángulos, es más conveniente que un tutor de matemáticas llame al primero de ellos apotémico, y segundo costal. Desafortunadamente, no encontrará esta terminología en ninguno de los libros de texto y el profesor tiene que introducirla unilateralmente.

Fórmula para el volumen de una pirámide.:
1) , donde es el área de la base de la pirámide y es la altura de la pirámide
2), donde es el radio de la esfera inscrita y es el área de la superficie total de la pirámide.
3) , donde MN es la distancia entre dos aristas que se cruzan cualesquiera y es el área del paralelogramo formado por los puntos medios de las cuatro aristas restantes.

Propiedad de la base de la altura de una pirámide:

El punto P (ver figura) coincide con el centro del círculo inscrito en la base de la pirámide si se cumple una de las siguientes condiciones:
1) Todas las apotemas son iguales
2) Todas las caras laterales están igualmente inclinadas con respecto a la base.
3) Todas las apotemas están igualmente inclinadas con respecto a la altura de la pirámide.
4) La altura de la pirámide está igualmente inclinada en todas las caras laterales.

Comentario del tutor de matemáticas.: Tenga en cuenta que todos los puntos están unidos por una propiedad común: de una forma u otra, las caras laterales están involucradas en todas partes (las apotemas son sus elementos). Por tanto, el tutor puede ofrecer una formulación menos precisa, pero más conveniente para el aprendizaje: el punto P coincide con el centro del círculo inscrito, la base de la pirámide, si existe información igual sobre sus caras laterales. Para demostrarlo basta demostrar que todos los triángulos de apotema son iguales.

El punto P coincide con el centro de un círculo circunscrito cerca de la base de la pirámide si se cumple una de tres condiciones:
1) Todos los bordes laterales son iguales
2) Todas las nervaduras laterales están igualmente inclinadas con respecto a la base.
3) Todas las nervaduras laterales están igualmente inclinadas respecto a la altura.

apotema- la altura de la cara lateral de una pirámide regular, que se dibuja desde su vértice (además, la apotema es la longitud de la perpendicular, que desciende desde el centro del polígono regular hasta uno de sus lados);
caras laterales (ASB, BSC, CSD, DSA) - triángulos que se encuentran en el vértice;
costillas laterales ( COMO , BS , C.S. , D.S. ) — lados comunes de las caras laterales;
cima de la pirámide (t.S) - un punto que conecta las nervaduras laterales y que no se encuentra en el plano de la base;
altura ( ENTONCES ) - un segmento perpendicular dibujado a través de la cima de la pirámide hasta el plano de su base (los extremos de dicho segmento serán la cima de la pirámide y la base de la perpendicular);
sección diagonal de la pirámide- una sección de la pirámide que pasa por la cima y la diagonal de la base;
base (A B C D) - un polígono que no pertenece al vértice de la pirámide.

Propiedades de la pirámide.

1. Cuando todos los bordes laterales tengan el mismo tamaño, entonces:

es fácil describir un círculo cerca de la base de la pirámide, y la cima de la pirámide se proyectará hacia el centro de este círculo;
las nervaduras laterales forman ángulos iguales con el plano de la base;
Además, lo contrario también es cierto, es decir. cuando las nervaduras laterales forman ángulos iguales con el plano de la base, o cuando se puede describir un círculo alrededor de la base de la pirámide y la cima de la pirámide se proyecta hacia el centro de este círculo, significa que todos los bordes laterales de la pirámide son del mismo tamaño.

2. Cuando las caras laterales tienen un ángulo de inclinación con respecto al plano de la base del mismo valor, entonces:

es fácil describir un círculo cerca de la base de la pirámide, y la cima de la pirámide se proyectará hacia el centro de este círculo;
las alturas de las caras laterales son de igual longitud;
el área de la superficie lateral es igual a ½ producto del perímetro de la base por la altura de la cara lateral.

3. Se puede describir una esfera alrededor de una pirámide si en la base de la pirámide hay un polígono alrededor del cual se puede describir un círculo (condición necesaria y suficiente). El centro de la esfera será el punto de intersección de los planos que pasan por el centro de las aristas de la pirámide perpendiculares a ellas. De este teorema concluimos que una esfera se puede describir tanto alrededor de cualquier pirámide triangular como alrededor de cualquier pirámide regular.

4. Una esfera se puede inscribir en una pirámide si los planos bisectores de los ángulos diédricos internos de la pirámide se cruzan en el primer punto (condición necesaria y suficiente). Este punto se convertirá en el centro de la esfera.

La pirámide más simple.

Según el número de ángulos, la base de la pirámide se divide en triangular, cuadrangular, etc.

Habrá una pirámide triangular, cuadrangular, y así sucesivamente, cuando la base de la pirámide es un triángulo, un cuadrilátero, etcétera. Una pirámide triangular es un tetraedro, un tetraedro. Cuadrangular - pentagonal y así sucesivamente.

Esta lección proporciona la definición y las propiedades de una pirámide triangular regular y su caso especial, el tetraedro (ver más abajo). Al final de la lección se proporcionan enlaces a ejemplos de resolución de problemas.

Definición

Pirámide triangular regular Es una pirámide cuya base es un triángulo regular y el vértice se proyecta hacia el centro de la base.

La figura muestra:
A B C- Base pirámides
SO - Altura
KS - Apotema
OK - radio del círculo inscrito en la base
AO: radio de un círculo circunscrito alrededor de la base de una pirámide triangular regular.
SKO - ángulo diédrico entre la base y la cara de la pirámide (en una pirámide regular son iguales)

Importante. En una pirámide triangular regular, la longitud de la arista (AS, BS, CS en la figura) puede no ser igual a la longitud del lado de la base (AB, AC, BC en la figura). Si la longitud del borde de una pirámide triangular regular es igual a la longitud del lado de la base, entonces dicha pirámide se llama tetraedro (ver más abajo).

Propiedades de una pirámide triangular regular:

los bordes laterales de una pirámide regular son iguales
todas las caras laterales de una pirámide regular son triángulos isósceles
En una pirámide triangular regular puedes colocar una esfera o describirla alrededor de ella.
Si los centros de una esfera inscrita y circunscrita alrededor de una pirámide triangular regular coinciden, entonces la suma de los ángulos planos en la cima de la pirámide es igual a π (180 grados), y cada uno de ellos es respectivamente igual a π / 3 ( pi dividido por 3 o 60 grados).
El área de la superficie lateral de una pirámide regular es igual a la mitad del producto del perímetro de la base por la apotema
El vértice de la pirámide se proyecta sobre la base en el centro de un triángulo equilátero regular, que es el centro de la circunferencia y el punto de intersección de las medianas.

Fórmulas para una pirámide triangular regular.

Fórmula para el volumen de una pirámide triangular regular:

V es el volumen de una pirámide regular con un triángulo regular (equilátero) en su base
h - altura de la pirámide
a es la longitud del lado de la base de la pirámide
R - circunradio
r - radio del círculo inscrito

Dado que una pirámide triangular regular es un caso especial de una pirámide regular, las fórmulas que son válidas para una pirámide regular también lo son para una triangular regular; ver. fórmulas para una pirámide regular.

Ejemplos de resolución de problemas:

tetraedro

Un caso especial de pirámide triangular regular es tetraedro.

tetraedro- este es un poliedro regular (pirámide triangular regular) en el que todas las caras son triángulos regulares.

Para un tetraedro:

Todos los bordes son iguales
4 caras, 4 vértices y 6 aristas
Todos los ángulos diédricos en las aristas y todos los ángulos triédricos en los vértices son iguales.

Mediana de un tetraedro- este es un segmento que conecta un vértice con el punto de intersección de las medianas de la cara opuesta (las medianas de un triángulo equilátero opuesto al vértice)

Bimediana de un tetraedro- este es un segmento que conecta los puntos medios de las aristas que se cruzan (que conecta los puntos medios de los lados de un triángulo, que es una de las caras del tetraedro)

Altura del tetraedro- es un segmento que conecta un vértice con un punto de la cara opuesta y perpendicular a esta cara (es decir, es la altura extraída de cualquier cara, también coincide con el centro del círculo circunscrito).

tetraedro tiene lo siguiente propiedades:

Todas las medianas y bimedianas de un tetraedro se cortan en un punto.
Este punto divide las medianas en una proporción de 3:1, contando desde el vértice.
Este punto divide las bimedianas por la mitad.

Capítulo 1. Estudio teórico de los tipos de secciones y métodos de su construcción en una pirámide cuadrangular regular.

Una pirámide (en griego antiguo Πυραμίς, nacida como P. πυραμίδος) es un poliedro cuya base es un polígono y las caras restantes son triángulos que tienen un vértice común. Según el número de ángulos de la base, las pirámides se distinguen en triangulares, cuadrangulares, etc. Una pirámide es un caso especial de cono.

La geometría piramidal comenzó en el Antiguo Egipto y Babilonia, pero se desarrolló activamente en la Antigua Grecia. El primero en establecer el volumen de la pirámide fue Demócrito, y Eudoxo de Cnido lo demostró. El antiguo matemático griego Euclides sistematizó el conocimiento sobre la pirámide en el volumen XII de sus "Elementos", y también derivó la primera definición de pirámide: una figura física delimitada por planos que convergen de un plano a un punto.

Elementos piramidales

· apotema - la altura de la cara lateral de una pirámide regular, extraída desde su cima;

· caras laterales: triángulos que convergen en la cima de la pirámide;

· nervaduras laterales: lados comunes de las caras laterales;

· el vértice de la pirámide es un punto que conecta las nervaduras laterales y no se encuentra en el plano de la base;

· altura: un segmento perpendicular trazado a través de la cima de la pirámide hasta el plano de su base (los extremos de este segmento son la cima de la pirámide y la base de la perpendicular);

· sección diagonal de una pirámide: una sección de una pirámide que pasa por la cima y la diagonal de la base;

· base: un polígono que no pertenece a la cima de la pirámide.

Propiedades de la pirámide:

El número de caras de una pirámide es igual a su número de vértices.

Cualquier poliedro cuyo número de caras sea igual al número de vértices es una pirámide. El número total de vértices de la pirámide es n+1, donde n es el número de vértices en la base.

Si todos los bordes laterales son iguales, Eso:

§ se puede describir un círculo cerca de la base de la pirámide, con la cima de la pirámide proyectada hacia su centro;

§ Las nervaduras laterales forman ángulos iguales con el plano de la base.

§ Lo contrario también es cierto, es decir, si los bordes laterales forman ángulos iguales con el plano de la base, o si se puede describir un círculo alrededor de la base de la pirámide, con la cima de la pirámide proyectada hacia su centro, entonces todas las aristas laterales de la pirámide son iguales.

Si las caras laterales están inclinadas con respecto al plano base en el mismo ángulo, Eso:

§ se puede inscribir un círculo en la base de la pirámide y la cima de la pirámide se proyecta hacia su centro;

§ las alturas de las caras laterales son iguales;

§ El área de la superficie lateral es igual a la mitad del producto del perímetro de la base por la altura de la cara lateral.

Tipos de secciones en una pirámide cuadrangular regular:

· sección diagonal de la pirámide;